Интеграл sin(5*x)^(5) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1             
  /             
 |              
 |     5        
 |  sin (5*x) dx
 |              
/               
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{5}{\left(5 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\sin^{5}{\left(5 x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right)^{2} \sin{\left(5 x \right)}$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = 5 x$ .
  
  Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \left(\frac{\sin{\left(u \right)} \cos^{4}{\left(u \right)}}{5} - \frac{2 \sin{\left(u \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}}{5} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\right)\, du$
  1. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)} \cos^{4}{\left(u \right)}}{5}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)} \cos^{4}{\left(u \right)}\, du}{5}$
      
      пусть $u = \cos{\left(u \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(u \right)} du$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{5}{\left(u \right)}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos^{5}{\left(u \right)}}{25}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{2 \sin{\left(u \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}}{5}\right)\, du = - \frac{2 \int \sin{\left(u \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{5}$
      
      пусть $u = \cos{\left(u \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(u \right)} du$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{2 \cos^{3}{\left(u \right)}}{15}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}$
    Результат есть: $- \frac{\cos^{5}{\left(u \right)}}{25} + \frac{2 \cos^{3}{\left(u \right)}}{15} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $- \frac{\cos^{5}{\left(5 x \right)}}{25} + \frac{2 \cos^{3}{\left(5 x \right)}}{15} - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(1 - \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right)^{2} \sin{\left(5 x \right)} = \sin{\left(5 x \right)} \cos^{4}{\left(5 x \right)} - 2 \sin{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \cos{\left(5 x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = - 5 \sin{\left(5 x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{5}$ :
    
    $\int \frac{u^{4}}{25}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u^{4}}{5}\right)\, du = - \frac{\int u^{4}\, du}{5}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{25}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos^{5}{\left(5 x \right)}}{25}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 2 \sin{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(5 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - 5 \sin{\left(5 x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{5}$ :
      
      $\int \frac{u^{2}}{25}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{5}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{5}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{15}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(5 x \right)}}{15}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{2 \cos^{3}{\left(5 x \right)}}{15}$
  1. пусть $u = 5 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$ :
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{25}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$
  Результат есть: $- \frac{\cos^{5}{\left(5 x \right)}}{25} + \frac{2 \cos^{3}{\left(5 x \right)}}{15} - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(1 - \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right)^{2} \sin{\left(5 x \right)} = \sin{\left(5 x \right)} \cos^{4}{\left(5 x \right)} - 2 \sin{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \cos{\left(5 x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = - 5 \sin{\left(5 x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{5}$ :
    
    $\int \frac{u^{4}}{25}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u^{4}}{5}\right)\, du = - \frac{\int u^{4}\, du}{5}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{25}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos^{5}{\left(5 x \right)}}{25}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 2 \sin{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(5 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - 5 \sin{\left(5 x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{5}$ :
      
      $\int \frac{u^{2}}{25}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{5}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{5}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{15}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(5 x \right)}}{15}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{2 \cos^{3}{\left(5 x \right)}}{15}$
  1. пусть $u = 5 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$ :
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{25}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$
  Результат есть: $- \frac{\cos^{5}{\left(5 x \right)}}{25} + \frac{2 \cos^{3}{\left(5 x \right)}}{15} - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$
Теперь упростить:

$- \frac{\left(3 \sin^{4}{\left(5 x \right)} + 4 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 8\right) \cos{\left(5 x \right)}}{75}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- \frac{\left(3 \sin^{4}{\left(5 x \right)} + 4 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 8\right) \cos{\left(5 x \right)}}{75}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\left(3 \sin^{4}{\left(5 x \right)} + 4 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 8\right) \cos{\left(5 x \right)}}{75}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                     
 |                                  5             3     
 |    5               cos(5*x)   cos (5*x)   2*cos (5*x)
 | sin (5*x) dx = C - -------- - --------- + -----------
 |                       5           25           15    
/

$${{-{{\cos ^5\left(5\,x\right)}\over{5}}+{{2\,\cos ^3\left(5\,x \right)}\over{3}}-\cos \left(5\,x\right)}\over{5}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

                 5           3   
8    cos(5)   cos (5)   2*cos (5)
-- - ------ - ------- + ---------
75     5         25         15

$${{8}\over{75}}-{{3\,\cos ^55-10\,\cos ^35+15\,\cos 5}\over{75}}$$

                 5           3   
8    cos(5)   cos (5)   2*cos (5)
-- - ------ - ------- + ---------
75     5         25         15

$$- \frac{\cos{\left(5 \right)}}{5} - \frac{\cos^{5}{\left(5 \right)}}{25} + \frac{2 \cos^{3}{\left(5 \right)}}{15} + \frac{8}{75}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.0529040549362126

0.0529040549362126

График

$Интеграл sin(5*x)^(5) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл sin(5*x)^(5) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3