Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл sin(4*x)*cos(2*x)*dx
Интеграл sin(5*x)^(5)
Интеграл sinh(x)*cosh(x)
Интеграл exp(cos(x))
Идентичные выражения
sin(четыре *x)*cos(два *x)*dx
синус от (4 умножить на x) умножить на косинус от (2 умножить на x) умножить на dx
синус от (четыре умножить на x) умножить на косинус от (два умножить на x) умножить на dx
sin(4x)cos(2x)dx
sin4xcos2xdx

Решение интегралов/ sin(4*x)*cos(2*x)*dx

Интеграл sin(4x)cos(2x)dx d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                       
  /                       
 |                        
 |  sin(4*x)*cos(2*x)*1 dx
 |                        
/                         
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} 1\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = 2 x$ .
  
  Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
  
  $\int \frac{\sin{\left(2 u \right)} \cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\sin{\left(2 u \right)} \cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(2 u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \sin{\left(u \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}\, du$
      
      пусть $u = \cos{\left(u \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(u \right)} du$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \cos^{3}{\left(u \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{3}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $- \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{3}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} 1 = - 16 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} + 8 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 8 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 16 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 16 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}$
    2. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(u^{5} - u^{3}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{3}\right)\, du = - \int u^{3}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{4}}{4}$
      
      Результат есть: $\frac{u^{6}}{6} - \frac{u^{4}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\cos^{6}{\left(x \right)}}{6} - \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{8 \cos^{6}{\left(x \right)}}{3} + 4 \cos^{4}{\left(x \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 8 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 8 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{3}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $2 \sin^{4}{\left(x \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 8 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 8 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{3}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{3}\right)\, du = - \int u^{3}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{4}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $- 2 \cos^{4}{\left(x \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $2 \cos^{2}{\left(x \right)}$
  Результат есть: $2 \sin^{4}{\left(x \right)} - \frac{8 \cos^{6}{\left(x \right)}}{3} + 2 \cos^{4}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                3     
 |                              cos (2*x)
 | sin(4*x)*cos(2*x)*1 dx = C - ---------
 |                                  3    
/

$$-{{\cos \left(6\,x\right)}\over{12}}-{{\cos \left(2\,x\right) }\over{4}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

1   cos(2)*cos(4)   sin(2)*sin(4)
- - ------------- - -------------
3         3               6

$${{1}\over{3}}-{{\cos 6+3\,\cos 2}\over{12}}$$

1   cos(2)*cos(4)   sin(2)*sin(4)
- - ------------- - -------------
3         3               6

$$- \frac{\cos{\left(2 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(2 \right)} \sin{\left(4 \right)}}{6} + \frac{1}{3}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.357355851915922

0.357355851915922

График

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл sin(4x)cos(2x)dx d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл sin(4*x)*cos(2*x)*dx d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Интеграл sin(4x)cos(2x)dx d{x}