Интеграл sin(2*x)*cos(x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$