Интеграл x*(4-x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int \left(u^{2} + 4 u\right)\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 4 u\, du = 4 \int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $2 u^{2}$

         Результат есть: $\frac{u^{3}}{3} + 2 u^{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $x \left(4 - x\right) = - x^{2} + 4 x$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- x^{2}\right)\, dx = - \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $2 x^{2}$

      Результат есть: $- \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2} \cdot \left(6 - x\right)}{3}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2} \cdot \left(6 - x\right)}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2} \cdot \left(6 - x\right)}{3}+ \mathrm{constant}$