Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл atan(sqrt(4*x-1))
Интеграл 1/sqrt(5*x-2)
Интеграл 1/(sqrt(25-x^2))
Интеграл sin(2*x)*cos(5*x)
Идентичные выражения
sin(два *x)*cos(пять *x)
синус от (2 умножить на x) умножить на косинус от (5 умножить на x)
синус от (два умножить на x) умножить на косинус от (пять умножить на x)
sin(2x)cos(5x)
sin2xcos5x
sin(2*x)*cos(5*x)dx

Решение интегралов/ sin(2*x)*cos(5*x)

Интеграл sin(2x)cos(5*x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                     
  /                     
 |                      
 |  sin(2*x)*cos(5*x) dx
 |                      
/                       
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(5 x \right)} = 16 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - 20 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + 5 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 16 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx = 16 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{6}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{16 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- 20 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 20 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $4 \cos^{5}{\left(x \right)}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 5 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{5 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    Результат есть: $- \frac{16 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + 4 \cos^{5}{\left(x \right)} - \frac{5 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + 8 \cos^{5}{\left(x \right)} - \frac{10 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} = 32 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - 40 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + 10 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 32 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx = 32 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{6}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 40 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 40 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
    Таким образом, результат будет: $8 \cos^{5}{\left(x \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 10 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 10 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{10 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  Результат есть: $- \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + 8 \cos^{5}{\left(x \right)} - \frac{10 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
Теперь упростить:

$\frac{2 \left(- 48 \cos^{4}{\left(x \right)} + 84 \cos^{2}{\left(x \right)} - 35\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{21}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{2 \left(- 48 \cos^{4}{\left(x \right)} + 84 \cos^{2}{\left(x \right)} - 35\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{21}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{2 \left(- 48 \cos^{4}{\left(x \right)} + 84 \cos^{2}{\left(x \right)} - 35\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{21}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                             7            3   
 |                                 5      32*cos (x)   10*cos (x)
 | sin(2*x)*cos(5*x) dx = C + 8*cos (x) - ---------- - ----------
 |                                            7            3     
/

$${{\cos \left(3\,x\right)}\over{6}}-{{\cos \left(7\,x\right)}\over{ 14}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

  2    2*cos(2)*cos(5)   5*sin(2)*sin(5)
- -- + --------------- + ---------------
  21          21                21

$$-{{3\,\cos 7-7\,\cos 3}\over{42}}-{{2}\over{21}}$$

  2    2*cos(2)*cos(5)   5*sin(2)*sin(5)
- -- + --------------- + ---------------
  21          21                21

$$\frac{5 \sin{\left(2 \right)} \sin{\left(5 \right)}}{21} - \frac{2}{21} + \frac{2 \cos{\left(2 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{21}$$

Упростить

Численный ответ [src]

-0.314087005696025

-0.314087005696025

График

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл sin(2x)cos(5*x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл sin(2*x)*cos(5*x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Интеграл sin(2x)cos(5*x) d{x}