Интеграл sin(pi*t) d{x}

Вы ввели [src]

  1             
  /             
 |              
 |  sin(pi*t) dt
 |              
/               
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(\pi t \right)}\, dt$$

Упростить

Подробное решение

пусть $u = \pi t$ .

Тогда пусть $du = \pi dt$ и подставим $\frac{du}{\pi}$ :

$\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi^{2}}\, du$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
  1. Интеграл от синуса есть минус косинус:
    
    $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$
Если сейчас заменить $u$ ещё в:

$- \frac{\cos{\left(\pi t \right)}}{\pi}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- \frac{\cos{\left(\pi t \right)}}{\pi}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\cos{\left(\pi t \right)}}{\pi}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                            
 |                    cos(pi*t)
 | sin(pi*t) dt = C - ---------
 |                        pi   
/

$$-{{\cos \left(\pi\,t\right)}\over{\pi}}$$

Упростить

График

Ответ [src]

2 
--
pi

$${{1}\over{\pi}}-{{\cos \pi}\over{\pi}}$$

2 
--
pi

$$\frac{2}{\pi}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.636619772367581

0.636619772367581

График

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.