Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл ((x^3)+1)/((x^3)-(x^2))
Интеграл 3*cos(2*x)
Интеграл cos(3-4*x)
Интеграл (5*x-2)^7
Идентичные выражения
шестнадцать *x*dx/(шестнадцать *x^ четыре - один)
16 умножить на x умножить на dx делить на (16 умножить на x в степени 4 минус 1)
шестнадцать умножить на x умножить на dx делить на (шестнадцать умножить на x в степени четыре минус один)
16*x*dx/(16*x4-1)
16*x*dx/16*x4-1
16*x*dx/(16*x⁴-1)
16xdx/(16x^4-1)
16xdx/(16x4-1)
16xdx/16x4-1
16xdx/16x^4-1
16*x*dx разделить на (16*x^4-1)
Похожие выражения
16*x*dx/(16*x^4+1)
Что Вы имели ввиду?
16*x*dx/(16*x^4 - 1*1)
16*x*dx/((16*x^4)) - 1*1
16*x*dx*4/(16*x) - 1*1
16*x*dx/((16*x)^4) - 1*1
16*x*dx*x^4/16 - 1*1
16*x*dx/(16*x^4 - 1*1)
16*x*dx*x^4/16 - 1*1

Вы ввели:

16*x*dx/(16*x^4-1)

Что Вы имели ввиду?

16*x*dx/(16*x^4 - 1*1)

16*x*dx/((16*x^4)) - 1*1

16*x*dx*4/(16*x) - 1*1

16*x*dx/((16*x)^4) - 1*1

16*x*dx*x^4/16 - 1*1

16*x*dx/(16*x^4 - 1*1)

16*x*dx*x^4/16 - 1*1

Интеграл 16xdx/(16*x^4-1) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                    
  /                    
 |                     
 |             1       
 |  16*x*1*--------- dx
 |             4       
 |         16*x  - 1   
 |                     
/                      
0

$$\int\limits_{0}^{1} 16 x 1 \cdot \frac{1}{16 x^{4} - 1}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

$\int 16 x 1 \cdot \frac{1}{16 x^{4} - 1}\, dx = 16 \int \frac{x}{16 x^{4} - 1}\, dx$
1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
  Метод #1
  1. пусть $u = x^{2}$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int \frac{1}{32 u^{2} - 2}\, du$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{1}{32 u^{2} - 2} = \frac{- \frac{1}{u + \frac{1}{4}} + \frac{1}{u - \frac{1}{4}}}{16}$
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{- \frac{1}{u + \frac{1}{4}} + \frac{1}{u - \frac{1}{4}}}{16}\, du = \frac{\int \left(- \frac{1}{u + \frac{1}{4}} + \frac{1}{u - \frac{1}{4}}\right)\, du}{16}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл $\frac{1}{u - \frac{1}{4}}$ есть $\log{\left(u - \frac{1}{4} \right)}$ .
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{u + \frac{1}{4}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + \frac{1}{4}}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u + \frac{1}{4}}$ есть $\log{\left(u + \frac{1}{4} \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u + \frac{1}{4} \right)}$
      
      Результат есть: $\log{\left(u - \frac{1}{4} \right)} - \log{\left(u + \frac{1}{4} \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u - \frac{1}{4} \right)}}{16} - \frac{\log{\left(u + \frac{1}{4} \right)}}{16}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\log{\left(x^{2} - \frac{1}{4} \right)}}{16} - \frac{\log{\left(x^{2} + \frac{1}{4} \right)}}{16}$
  Метод #2
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{x}{16 x^{4} - 1} = - \frac{x}{2 \cdot \left(4 x^{2} + 1\right)} + \frac{1}{8 \cdot \left(2 x + 1\right)} + \frac{1}{8 \cdot \left(2 x - 1\right)}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{x}{2 \cdot \left(4 x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{x}{4 x^{2} + 1}\, dx}{2}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{x}{4 x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{8 x}{4 x^{2} + 1}\, dx}{8}$
      
      пусть $u = 4 x^{2} + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 8 x dx$ и подставим $\frac{du}{8}$ :
      
      $\int \frac{1}{8 u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{8}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{16}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{8 \cdot \left(2 x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{8}$
      
      пусть $u = 2 x + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{4 u}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{16}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{8 \cdot \left(2 x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{8}$
      
      пусть $u = 2 x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{4 u}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{16}$
    Результат есть: $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{16} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{16} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{16}$
Таким образом, результат будет: $\log{\left(x^{2} - \frac{1}{4} \right)} - \log{\left(x^{2} + \frac{1}{4} \right)}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\log{\left(x^{2} - \frac{1}{4} \right)} - \log{\left(x^{2} + \frac{1}{4} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\log{\left(x^{2} - \frac{1}{4} \right)} - \log{\left(x^{2} + \frac{1}{4} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                     
 |                                                      
 |            1                 /1    2\      /  1    2\
 | 16*x*1*--------- dx = C - log|- + x | + log|- - + x |
 |            4                 \4     /      \  4     /
 |        16*x  - 1                                     
 |                                                      
/

$$16\,\left({{\log \left(4\,x^2-1\right)}\over{16}}-{{\log \left(4\,x ^2+1\right)}\over{16}}\right)$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

nan

$$16\,\left({{\log 3}\over{16}}-{{\log 5}\over{16}}\right)$$

nan

$$\text{NaN}$$

Упростить

График

$Интеграл 16*x*dx/(16*x^4-1) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Что Вы имели ввиду?

Вы ввели:

Что Вы имели ввиду?

Интеграл 16xdx/(16*x^4-1) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2