Интеграл (5*x-2)^7 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 5 x - 2$.

      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{u^{7}}{25}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{7}}{5}\, du = \frac{\int u^{7}\, du}{5}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{8}}{40}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(5 x - 2\right)^{8}}{40}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(5 x - 2\right)^{7} = 78125 x^{7} - 218750 x^{6} + 262500 x^{5} - 175000 x^{4} + 70000 x^{3} - 16800 x^{2} + 2240 x - 128$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 78125 x^{7}\, dx = 78125 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{78125 x^{8}}{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 218750 x^{6}\right)\, dx = - 218750 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $- 31250 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 262500 x^{5}\, dx = 262500 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $43750 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 175000 x^{4}\right)\, dx = - 175000 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $- 35000 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 70000 x^{3}\, dx = 70000 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $17500 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 16800 x^{2}\right)\, dx = - 16800 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- 5600 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2240 x\, dx = 2240 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $1120 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-128\right)\, dx = - 128 x$

      Результат есть: $\frac{78125 x^{8}}{8} - 31250 x^{7} + 43750 x^{6} - 35000 x^{5} + 17500 x^{4} - 5600 x^{3} + 1120 x^{2} - 128 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(5 x - 2\right)^{8}}{40}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(5 x - 2\right)^{8}}{40}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(5 x - 2\right)^{8}}{40}+ \mathrm{constant}$