Интеграл 5^(x+1) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x + 1$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int 5^{u}\, du$

      1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

         $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left(5 \right)}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{5^{x + 1}}{\log{\left(5 \right)}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $5^{x + 1} = 5 \cdot 5^{x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 5 \cdot 5^{x}\, dx = 5 \int 5^{x}\, dx$

      1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

         $\int 5^{x}\, dx = \frac{5^{x}}{\log{\left(5 \right)}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{5 \cdot 5^{x}}{\log{\left(5 \right)}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{5^{x + 1}}{\log{\left(5 \right)}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{5^{x + 1}}{\log{\left(5 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{5^{x + 1}}{\log{\left(5 \right)}}+ \mathrm{constant}$