Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл 5*x+3*sin(x)
Интеграл sin(2*x+pi/8)
Интеграл 4^(2*x-1)
Интеграл du
Идентичные выражения
(один +sin(x))^ три *cos(x)
(1 плюс синус от (x)) в кубе умножить на косинус от (x)
(один плюс синус от (x)) в степени три умножить на косинус от (x)
(1+sin(x))3*cos(x)
1+sinx3*cosx
(1+sin(x))³*cos(x)
(1+sin(x)) в степени 3*cos(x)
(1+sin(x))^3cos(x)
(1+sin(x))3cos(x)
1+sinx3cosx
1+sinx^3cosx
(1+sin(x))^3*cos(x)dx
Похожие выражения
(1-sin(x))^3*cos(x)
(1+sinx)^3*cosx

Решение интегралов/ (1+sin(x))^3*cos(x)

Интеграл (1+sin(x))^3*cos(x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                        
  /                        
 |                         
 |              3          
 |  (1 + sin(x)) *cos(x) dx
 |                         
/                          
0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)^{3} \cos{\left(x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = \sin{\left(x \right)} + 1$ .
  
  Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int u^{3}\, du$
  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{\left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)^{4}}{4}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)^{3} \cos{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int u^{3}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $\sin^{3}{\left(x \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
  1. Интеграл от косинуса есть синус:
    
    $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
  Результат есть: $\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4} + \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} - \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)^{3} \cos{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int u^{3}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $\sin^{3}{\left(x \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
  1. Интеграл от косинуса есть синус:
    
    $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
  Результат есть: $\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4} + \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} - \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)^{4}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)^{4}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                           
 |                                           4
 |             3                 (1 + sin(x)) 
 | (1 + sin(x)) *cos(x) dx = C + -------------
 |                                     4      
/

$${{\left(\sin x+1\right)^4}\over{4}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

                   2         4            
3      3      3*cos (1)   sin (1)         
- + sin (1) - --------- + ------- + sin(1)
2                 2          4

$${{\sin ^41+4\,\sin ^31+6\,\sin ^21+4\,\sin 1+1}\over{4}}-{{1}\over{ 4}}$$

                   2         4            
3      3      3*cos (1)   sin (1)         
- + sin (1) - --------- + ------- + sin(1)
2                 2          4

$$- \frac{3 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\sin^{4}{\left(1 \right)}}{4} + \sin^{3}{\left(1 \right)} + \sin{\left(1 \right)} + \frac{3}{2}$$

Упростить

Численный ответ [src]

2.62474634022561

2.62474634022561

График

$Интеграл (1+sin(x))^3*cos(x) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (1+sin(x))^3*cos(x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3