Интеграл 1+log(x-1)/(x-1) d{x}

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \log{\left(x - 1 \right)}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dx}{x - 1}$ и подставим $du$:

         $\int u\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}^{2}}{2}$

      Метод #2

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{u}\, du$

         1. пусть $u = \frac{1}{u}$.

            Тогда пусть $du = - \frac{du}{u^{2}}$ и подставим $- du$:

            $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

               1. пусть $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Тогда пусть $du = - \frac{du}{u}$ и подставим $- du$:

                  $\int u\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\log{\left(u \right)}^{2}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}^{2}}{2}$

   Результат есть: $x + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}^{2}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $x + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}^{2}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$