Интеграл (1-cos(x))/x d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{1}{x}$.

      Тогда пусть $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ и подставим $du$:

      $\int \frac{\cos{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}{u}\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{\cos{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}{u} = \frac{\cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u} - \frac{1}{u}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. пусть $u = \frac{1}{u}$.

            Тогда пусть $du = - \frac{du}{u^{2}}$ и подставим $- du$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{u}\right)\, du = - \int \frac{\cos{\left(u \right)}}{u}\, du$

               CiRule(a=1, b=0, context=cos(_u)/_u, symbol=_u)

               Таким образом, результат будет: $- \operatorname{Ci}{\left(u \right)}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \operatorname{Ci}{\left(\frac{1}{u} \right)}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$

         Результат есть: $- \log{\left(u \right)} - \operatorname{Ci}{\left(\frac{1}{u} \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left(x \right)} - \operatorname{Ci}{\left(x \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{1}{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\, dx$

         CiRule(a=1, b=0, context=cos(x)/x, symbol=x)

         Таким образом, результат будет: $- \operatorname{Ci}{\left(x \right)}$

      1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$.

      Результат есть: $\log{\left(x \right)} - \operatorname{Ci}{\left(x \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left(x \right)} - \operatorname{Ci}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\log{\left(x \right)} - \operatorname{Ci}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$