Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел asin(4*x)/tan(5*x)
-
Предел 1+1/x-e^(-x)
-
Предел (1-x^3)/x^3
-
Предел x*csc(x)
-
Идентичные выражения
- один -cos(x)/x
- 1 минус косинус от (x) делить на x
- один минус косинус от (x) делить на x
- 1-cosx/x
- 1-cos(x) разделить на x
-
Похожие выражения
- (1-cos(x))/(x*sin(x))
- sqrt(1-cos(x))/x
- (1-cos(x))/x^3
- (1-cos(x))/x
- (1-cos(x))/(x*(-1+sqrt(1+x)))
- 1+cos(x)/x
- 1-cosx/x
Предел функции 1-cos(x)/x
Решение
Вы ввели
[src]
/ cos(x)\ lim |1 - ------| x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right)$$
Limit(1 - cos(x)/x, x, oo, dir='-')
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \cos{\left(x \right)}\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \cos{\left(x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x - \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \cos{\left(x \right)}\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \cos{\left(x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x - \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(1 - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right) = \infty$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right) = -\infty$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(1 - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right) = - \cos{\left(1 \right)} + 1$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(1 - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right) = - \cos{\left(1 \right)} + 1$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 1$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(1 - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right) = \infty$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right) = -\infty$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(1 - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right) = - \cos{\left(1 \right)} + 1$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(1 - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right) = - \cos{\left(1 \right)} + 1$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 1$$
Подробнее при x→-oo
График