Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел asin(4*x)/tan(5*x)
-
Предел 1+1/x-e^(-x)
-
Предел (1-x^3)/x^3
-
Предел x*csc(x)
-
Идентичные выражения
- (один -x^ три)/x^ три
- (1 минус x в кубе ) делить на x в кубе
- (один минус x в степени три) делить на x в степени три
- (1-x3)/x3
- 1-x3/x3
- (1-x³)/x³
- (1-x в степени 3)/x в степени 3
- 1-x^3/x^3
- (1-x^3) разделить на x^3
-
Похожие выражения
- (1+x^3)/x^3
-
Что Вы имели ввиду?
- (1 - x^3)/(x^3)
- 1 - x^3*3/x
- (1 - x^3)/(x^3)
- 1 - x^3/(x^3)
- 1 - x^3*3/x
- 1 - x^3/(x^3)
- 1 - x^3/(x^3)
Вы ввели:
(1-x^3)/x^3
Что Вы имели ввиду?
Предел функции (1-x^3)/x^3
Решение
Вы ввели
[src]
/ 3\
|1 - x |
lim |------|
x->oo| 3 |
\ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + 1}{x^{3}}\right)$$
Limit((1 - x^3)/(x^3), x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + 1}{x^{3}}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + 1}{x^{3}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{1}{x^{3}}}{1}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{1}{x^{3}}}{1}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(u^{3} - 1\right)$$
=
$$-1 + 0^{3} = -1$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + 1}{x^{3}}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + 1}{x^{3}}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + 1}{x^{3}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{1}{x^{3}}}{1}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{1}{x^{3}}}{1}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(u^{3} - 1\right)$$
=
$$-1 + 0^{3} = -1$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + 1}{x^{3}}\right) = -1$$
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{3} + 1\right) = -\infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + 1}{x^{3}}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + 1}{x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{3} + 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 3 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} 3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 6 x\right)}{\frac{d}{d x} 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$-1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 3 раз(а)
-oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{3} + 1\right) = -\infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + 1}{x^{3}}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + 1}{x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{3} + 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 3 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} 3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 6 x\right)}{\frac{d}{d x} 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$-1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 3 раз(а)
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + 1}{x^{3}}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- x^{3} + 1}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x^{3} + 1}{x^{3}}\right) = \infty$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- x^{3} + 1}{x^{3}}\right) = 0$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- x^{3} + 1}{x^{3}}\right) = 0$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{3} + 1}{x^{3}}\right) = -1$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- x^{3} + 1}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x^{3} + 1}{x^{3}}\right) = \infty$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- x^{3} + 1}{x^{3}}\right) = 0$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- x^{3} + 1}{x^{3}}\right) = 0$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{3} + 1}{x^{3}}\right) = -1$$
Подробнее при x→-oo
График