Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл 2*sin(x/3)
Интеграл (6*x+2)
Интеграл (x^2-5*x+6)*sin(3*x)
Интеграл (1-cos(3*x))^2
Идентичные выражения
(один -cos(три *x))^ два
(1 минус косинус от (3 умножить на x)) в квадрате
(один минус косинус от (три умножить на x)) в степени два
(1-cos(3*x))2
1-cos3*x2
(1-cos(3*x))²
(1-cos(3*x)) в степени 2
(1-cos(3x))^2
(1-cos(3x))2
1-cos3x2
1-cos3x^2
(1-cos(3*x))^2dx
Похожие выражения
(1+cos(3*x))^2

Решение интегралов/ (1-cos(3*x))^2

Интеграл (1-cos(3*x))^2 d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                   
  /                   
 |                    
 |                2   
 |  (1 - cos(3*x))  dx
 |                    
/                     
0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(- \cos{\left(3 x \right)} + 1\right)^{2}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right)^{2} = \cos^{2}{\left(3 x \right)} - 2 \cos{\left(3 x \right)} + 1$
2. Интегрируем почленно:
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\cos^{2}{\left(3 x \right)} = \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 6 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{36}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}$
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
    Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 2 \cos{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{3}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int 1\, dx = x$
  Результат есть: $\frac{3 x}{2} - \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right)^{2} = \cos^{2}{\left(3 x \right)} - 2 \cos{\left(3 x \right)} + 1$
2. Интегрируем почленно:
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\cos^{2}{\left(3 x \right)} = \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 6 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{36}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}$
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
    Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 2 \cos{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{3}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int 1\, dx = x$
  Результат есть: $\frac{3 x}{2} - \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{3 x}{2} - \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{3 x}{2} - \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                    
 |                                                     
 |               2          2*sin(3*x)   sin(6*x)   3*x
 | (1 - cos(3*x))  dx = C - ---------- + -------- + ---
 |                              3           12       2 
/

$${{{{\sin \left(6\,x\right)}\over{2}}+3\,x}\over{6}}-{{2\,\sin \left(3\,x\right)}\over{3}}+x$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

       2         2                              
    cos (3)   sin (3)   2*sin(3)   cos(3)*sin(3)
1 + ------- + ------- - -------- + -------------
       2         2         3             6

$${{{{\sin 6+6}\over{4}}-2\,\sin 3+3}\over{3}}$$

       2         2                              
    cos (3)   sin (3)   2*sin(3)   cos(3)*sin(3)
1 + ------- + ------- - -------- + -------------
       2         2         3             6

$$- \frac{2 \sin{\left(3 \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{6} + \frac{\sin^{2}{\left(3 \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(3 \right)}}{2} + 1$$

Упростить

Численный ответ [src]

1.38263536977684

1.38263536977684

График

$Интеграл (1-cos(3*x))^2 d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (1-cos(3*x))^2 d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2