Господин Экзамен

Другие калькуляторы

Решение интегралов/ 1/(x^3-x)

Интеграл 1/(x^3-x) d{x}

Пределы интегрирования:

от до
v

График:

от до

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
  1            
  /            
 |             
 |      1      
 |  1*------ dx
 |     3       
 |    x  - x   
 |             
/              
0
∫011⋅1x3−x dx\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{x^{3} - x}\, dx
Упростить
Подробное решение

  1. Перепишите подынтегральное выражение:

    1⋅1x3−x=12(x+1)+12(x−1)−1x1 \cdot \frac{1}{x^{3} - x} = \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)} - \frac{1}{x}

  2. Интегрируем почленно:

    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      ∫12(x+1) dx=∫1x+1 dx2\int \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}

      1. пусть u=x+1u = x + 1.

        Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

        ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

        1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

      Таким образом, результат будет: log⁡(x+1)2\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}

    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      ∫12(x−1) dx=∫1x−1 dx2\int \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}

      1. пусть u=x−1u = x - 1.

        Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

        ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

        1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

      Таким образом, результат будет: log⁡(x−1)2\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}

    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      ∫(−1x) dx=−∫1x dx\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx

      1. Интеграл 1x\frac{1}{x} есть log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

      Таким образом, результат будет: −log⁡(x)- \log{\left(x \right)}

    Результат есть: −log⁡(x)+log⁡(x−1)2+log⁡(x+1)2- \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}

  3. Добавляем постоянную интегрирования:

    −log⁡(x)+log⁡(x−1)2+log⁡(x+1)2+constant- \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Ответ:

−log⁡(x)+log⁡(x−1)2+log⁡(x+1)2+constant- \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Ответ (Неопределённый) [src] 
  /                                                   
 |                                                    
 |     1             log(1 + x)   log(-1 + x)         
 | 1*------ dx = C + ---------- + ----------- - log(x)
 |    3                  2             2              
 |   x  - x                                           
 |                                                    
/
log⁡(x+1)2−log⁡x+log⁡(x−1)2{{\log \left(x+1\right)}\over{2}}-\log x+{{\log \left(x-1\right) }\over{2}}
Упростить
Ответ [src] 
-oo
%a{\it \%a} 
=
= 
-oo
−∞-\infty
Упростить
Численный ответ [src] 
-65.7893509368196
-65.7893509368196

    Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

    © Господин Экзамен – Калькулятор