Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл dx/sqrt(1)-x^2
Интеграл sin(x)-cos(x)/(cos(x)+sin(x))^5
Интеграл 1/sqrt(1-x-x^2)
Интеграл (x*acos(x))/sqrt(1-x^2)
Идентичные выражения
один /(x^ шесть + один)
1 делить на (x в степени 6 плюс 1)
один делить на (x в степени шесть плюс один)
1/(x6+1)
1/x6+1
1/(x⁶+1)
1/x^6+1
1 разделить на (x^6+1)
1/(x^6+1)dx
Похожие выражения
1/(x^6-1)
(x^4+1)/(x^6+1)

Решение интегралов/ 1/(x^6+1)

Интеграл 1/(x^6+1) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1            
  /            
 |             
 |      1      
 |  1*------ dx
 |     6       
 |    x  + 1   
 |             
/              
0

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{x^{6} + 1}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$1 \cdot \frac{1}{x^{6} + 1} = - \frac{x^{2} - 2}{3 \left(x^{4} - x^{2} + 1\right)} + \frac{1}{3 \left(x^{2} + 1\right)}$
Интегрируем почленно:
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- \frac{x^{2} - 2}{3 \left(x^{4} - x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{x^{2} - 2}{x^{4} - x^{2} + 1}\, dx}{3}$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{x^{2} - 2}{x^{4} - x^{2} + 1} = \frac{x^{2}}{x^{4} - x^{2} + 1} - \frac{2}{x^{4} - x^{2} + 1}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.
      
      Но интеграл
      
      $\frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} - \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{2}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{2}{x^{4} - x^{2} + 1}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{4} - x^{2} + 1}\, dx$
      1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.
        
        Но интеграл
        
        $- \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{2}$
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{6} - \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{6} - \operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)} - \operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}$
    Результат есть: $\frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{4} - \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{2}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{6} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{6}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \frac{1}{3 \left(x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx}{3}$
  1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left(x \right)}$ .
  Таким образом, результат будет: $\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3}$
Результат есть: $- \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{6} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{6}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{6} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{6} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                                                                                               
 |                                 /  ___      \       /    ___      \     ___    /     2       ___\     ___    /     2       ___\
 |     1             atan(x)   atan\\/ 3  + 2*x/   atan\- \/ 3  + 2*x/   \/ 3 *log\1 + x  - x*\/ 3 /   \/ 3 *log\1 + x  + x*\/ 3 /
 | 1*------ dx = C + ------- + ----------------- + ------------------- - --------------------------- + ---------------------------
 |    6                 3              6                    6                         12                            12            
 |   x  + 1                                                                                                                       
 |                                                                                                                                
/

$${{\log \left(x^2+\sqrt{3}\,x+1\right)}\over{4\,\sqrt{3}}}-{{\log \left(x^2-\sqrt{3}\,x+1\right)}\over{4\,\sqrt{3}}}+{{\arctan \left(2 \,x+\sqrt{3}\right)}\over{6}}+{{\arctan \left(2\,x-\sqrt{3}\right) }\over{6}}+{{\arctan x}\over{3}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

       ___    /      ___\     ___    /      ___\
pi   \/ 3 *log\2 - \/ 3 /   \/ 3 *log\2 + \/ 3 /
-- - -------------------- + --------------------
6             12                     12

$${{\log \left(\sqrt{3}+2\right)}\over{4\,\sqrt{3}}}+{{\arctan \left( \sqrt{3}+2\right)}\over{6}}-{{\arctan \left(\sqrt{3}-2\right)}\over{ 6}}-{{\log \left(2-\sqrt{3}\right)}\over{4\,\sqrt{3}}}+{{\pi}\over{ 12}}$$

       ___    /      ___\     ___    /      ___\
pi   \/ 3 *log\2 - \/ 3 /   \/ 3 *log\2 + \/ 3 /
-- - -------------------- + --------------------
6             12                     12

$$- \frac{\sqrt{3} \log{\left(- \sqrt{3} + 2 \right)}}{12} + \frac{\sqrt{3} \log{\left(\sqrt{3} + 2 \right)}}{12} + \frac{\pi}{6}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.903771773748772

0.903771773748772

График

$Интеграл 1/(x^6+1) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл 1/(x^6+1) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение