Интеграл 1/(x+y^2/x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $1 \cdot \frac{1}{x + \frac{y^{2}}{x}} = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x}{x^{2} + y^{2}}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}\, dx}{2}$

      1. пусть $u = x^{2} + y^{2}$.

         Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}}{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $1 \cdot \frac{1}{x + \frac{y^{2}}{x}} = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x}{x^{2} + y^{2}}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}\, dx}{2}$

      1. пусть $u = x^{2} + y^{2}$.

         Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}}{2}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$