Интеграл ((1/2)*x+1)^5 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{x}{2} + 1$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

      $\int 4 u^{5}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 u^{5}\, du = 2 \int u^{5}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{6}}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(\frac{x}{2} + 1\right)^{6}}{3}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\frac{x}{2} + 1\right)^{5} = \frac{x^{5}}{32} + \frac{5 x^{4}}{16} + \frac{5 x^{3}}{4} + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{5 x}{2} + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{x^{5}}{32}\, dx = \frac{\int x^{5}\, dx}{32}$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x^{6}}{192}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{5 x^{4}}{16}\, dx = \frac{5 \int x^{4}\, dx}{16}$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x^{5}}{16}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{5 x^{3}}{4}\, dx = \frac{5 \int x^{3}\, dx}{4}$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{5 x^{4}}{16}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{5 x^{2}}{2}\, dx = \frac{5 \int x^{2}\, dx}{2}$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{5 x^{3}}{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{5 x}{2}\, dx = \frac{5 \int x\, dx}{2}$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{5 x^{2}}{4}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $\frac{x^{6}}{192} + \frac{x^{5}}{16} + \frac{5 x^{4}}{16} + \frac{5 x^{3}}{6} + \frac{5 x^{2}}{4} + x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(x + 2\right)^{6}}{192}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(x + 2\right)^{6}}{192}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(x + 2\right)^{6}}{192}+ \mathrm{constant}$