Интеграл -sin(x)^3 d{x}

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(- \sin^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}$

   2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

         $\int \left(u^{2} - 1\right)\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \left(-1\right)\, du = - u$

            Результат есть: $\frac{u^{3}}{3} - u$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Результат есть: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

      Метод #3

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Результат есть: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + \cos{\left(x \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$