Интеграл (-log(x))/x^2 d{x}

1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$.

   Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $- du$:

   $\int u e^{- u}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- u e^{- u}\right)\, du = - \int u e^{- u}\, du$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = - u$.

            Тогда пусть $du = - du$ и подставим $du$:

            $\int u e^{u}\, du$

            1. Используем интегрирование по частям:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- u e^{- u} - e^{- u}$

         Метод #2

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- u}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

               Метод #1

               1. пусть $u = - u$.

                  Тогда пусть $du = - du$ и подставим $- du$:

                  $\int e^{u}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \left(- e^{u}\right)\, du = - \int e^{u}\, du$

                     1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- e^{- u}$

               Метод #2

               1. пусть $u = e^{- u}$.

                  Тогда пусть $du = - e^{- u} du$ и подставим $- du$:

                  $\int 1\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \left(-1\right)\, du = - \int 1\, du$

                     1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                        $\int 1\, du = u$

                     Таким образом, результат будет: $- u$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- e^{- u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- e^{- u}\right)\, du = - \int e^{- u}\, du$

            1. пусть $u = - u$.

               Тогда пусть $du = - du$ и подставим $- du$:

               $\int e^{u}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- e^{u}\right)\, du = - \int e^{u}\, du$

                  1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- e^{- u}$

            Таким образом, результат будет: $e^{- u}$

      Таким образом, результат будет: $u e^{- u} + e^{- u}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\frac{\log{\left(x \right)}}{x} + \frac{1}{x}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x}+ \mathrm{constant}$