Интеграл log(y) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(y \right)} = \log{\left(y \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(y \right)} = 1$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(y \right)} = \frac{1}{y}$.

   Чтобы найти $v{\left(y \right)}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dy = y$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

   $\int 1\, dy = y$

3. Теперь упростить:

   $y \left(\log{\left(y \right)} - 1\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $y \left(\log{\left(y \right)} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$y \left(\log{\left(y \right)} - 1\right)+ \mathrm{constant}$