Интеграл log(x)*sin(x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

      $\int u e^{u} \sin{\left(e^{u} \right)}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u} \sin{\left(e^{u} \right)}$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

         1. пусть $u = e^{u}$.

            Тогда пусть $du = e^{u} du$ и подставим $du$:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \cos{\left(e^{u} \right)}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \cos{\left(e^{u} \right)}\right)\, du = - \int \cos{\left(e^{u} \right)}\, du$

         1. пусть $u = e^{u}$.

            Тогда пусть $du = e^{u} du$ и подставим $du$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{u}\, du$

            CiRule(a=1, b=0, context=cos(_u)/_u, symbol=_u)

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\operatorname{Ci}{\left(e^{u} \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \operatorname{Ci}{\left(e^{u} \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \operatorname{Ci}{\left(x \right)}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\, dx$

      CiRule(a=1, b=0, context=cos(x)/x, symbol=x)

      Таким образом, результат будет: $- \operatorname{Ci}{\left(x \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \operatorname{Ci}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \operatorname{Ci}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$