Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл cos(x)^(3)
Интеграл (cos(2*x))^3
Интеграл 5/cos(x)^(2)
Интеграл 1/((sin(x))^4)
Идентичные выражения
log(x)*e^(два *x)
логарифм от (x) умножить на e в степени (2 умножить на x)
логарифм от (x) умножить на e в степени (два умножить на x)
log(x)*e(2*x)
logx*e2*x
log(x)e^(2x)
log(x)e(2x)
logxe2x
logxe^2x
log(x)*e^(2*x)dx

Интеграл log(x)e^(2x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1               
  /               
 |                
 |          2*x   
 |  log(x)*e    dx
 |                
/                 
0

$$\int\limits_{0}^{1} e^{2 x} \log{\left(x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$ .
  
  Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$ :
  
  $\int u e^{u} e^{2 e^{u}}\, du$
  1. Используем интегрирование по частям:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u} e^{2 e^{u}}$ .
    
    Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
    
    Чтобы найти $v{\left(u \right)}$ :
    1. пусть $u = e^{u}$ .
      
      Тогда пусть $du = e^{u} du$ и подставим $du$ :
      
      $\int e^{2 u}\, du$
      
      Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
      
      Метод #1
      
      пусть $u = 2 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Метод #2
      
      пусть $u = e^{2 u}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 e^{2 u} du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{\int 1\, du}{2}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{2 e^{u}}}{2}$
    Теперь решаем под-интеграл.
  2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{e^{2 e^{u}}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 e^{u}}\, du}{2}$
    1. пусть $u = 2 e^{u}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 e^{u} du$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{u}\, du$
      
      EiRule(a=1, b=0, context=exp(_u)/_u, symbol=_u)
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\operatorname{Ei}{\left(2 e^{u} \right)}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\operatorname{Ei}{\left(2 e^{u} \right)}}{2}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{e^{2 x} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{\operatorname{Ei}{\left(2 x \right)}}{2}$
Метод #2
1. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{2 x}$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
  1. пусть $u = 2 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{e^{2 x}}{2}$
  Теперь решаем под-интеграл.
2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \frac{e^{2 x}}{2 x}\, dx = \frac{\int \frac{e^{2 x}}{x}\, dx}{2}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{\operatorname{Ei}{\left(2 x \right)}}{2}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{e^{2 x} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{\operatorname{Ei}{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{e^{2 x} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{\operatorname{Ei}{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                          
 |                                 2*x       
 |         2*x          Ei(2*x)   e   *log(x)
 | log(x)*e    dx = C - ------- + -----------
 |                         2           2     
/

$${{e^{2\,x}\,\log x}\over{2}}+{{\Gamma\left(0 , -2\,x\right)}\over{2 }}$$

Упростить

Ответ [src]

EulerGamma   log(2)   Ei(2)
---------- + ------ - -----
    2          2        2

$$\int_{0}^{1}{e^{2\,x}\,\log x\;dx}$$

EulerGamma   log(2)   Ei(2)
---------- + ------ - -----
    2          2        2

$$- \frac{\operatorname{Ei}{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\gamma}{2} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{2}$$

Упростить

Численный ответ [src]

-1.84193575527021

-1.84193575527021

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл log(x)e^(2x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #2

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл log(x)*e^(2*x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #2

Интеграл log(x)e^(2x) d{x}