Интеграл log(x/2) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

      $\int 4 \log{\left(u \right)}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 \log{\left(u \right)}\, du = 2 \int \log{\left(u \right)}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $2 u \log{\left(u \right)} - 2 u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $x \log{\left(\frac{x}{2} \right)} - x$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x}{2} \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

2. Теперь упростить:

   $x \left(\log{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \left(\log{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x \left(\log{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)+ \mathrm{constant}$