Интеграл log(1-x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 1 - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int \log{\left(u \right)}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \log{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \log{\left(u \right)}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $- u \log{\left(u \right)} + u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x - \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)} + 1$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(1 - x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{1 - x}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{x}{1 - x}\right)\, dx = - \int \frac{x}{1 - x}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{1 - x} = -1 - \frac{1}{x - 1}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

               1. пусть $u = x - 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x - 1 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x - 1 \right)}$

            Результат есть: $- x - \log{\left(x - 1 \right)}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{1 - x} = - \frac{x}{x - 1}$

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{x}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x - 1}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{x}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, dx = x$

               1. пусть $u = x - 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x - 1 \right)}$

               Результат есть: $x + \log{\left(x - 1 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- x - \log{\left(x - 1 \right)}$

      Таким образом, результат будет: $x + \log{\left(x - 1 \right)}$

2. Теперь упростить:

   $- x + \left(x - 1\right) \log{\left(1 - x \right)} + 1$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x + \left(x - 1\right) \log{\left(1 - x \right)} + 1+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- x + \left(x - 1\right) \log{\left(1 - x \right)} + 1+ \mathrm{constant}$