Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл x*e^-x
Интеграл (tan(x))^3
Интеграл dx/(3-x^2)
Интеграл 1/(cos(x)^(6))
Предел функции:
log(1-2*x)
Идентичные выражения
log(один - два *x)
логарифм от (1 минус 2 умножить на x)
логарифм от (один минус два умножить на x)
log(1-2x)
log1-2x
log(1-2*x)dx
Похожие выражения
log(1+2*x)

Решение интегралов/ log(1-2*x)

Интеграл log(1-2*x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                
  /                
 |                 
 |  log(1 - 2*x) dx
 |                 
/                  
0

$$\int\limits_{0}^{1} \log{\left(- 2 x + 1 \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = 1 - 2 x$ .
  
  Тогда пусть $du = - 2 dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$ :
  
  $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{4}\, du$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{\log{\left(u \right)}}{2}\right)\, du = - \frac{\int \log{\left(u \right)}\, du}{2}$
    1. Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$ :
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
    2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{u \log{\left(u \right)}}{2} + \frac{u}{2}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\left(- \frac{1}{2}\right) 2 x - \frac{\left(1 - 2 x\right) \log{\left(1 - 2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
Метод #2
1. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(1 - 2 x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2}{1 - 2 x}$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int 1\, dx = x$
  Теперь решаем под-интеграл.
2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- \frac{2 x}{1 - 2 x}\right)\, dx = - 2 \int \frac{x}{1 - 2 x}\, dx$
  1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
    Метод #1
    
    Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{x}{1 - 2 x} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot \left(2 x - 1\right)}$
    
    Интегрируем почленно:
    
    Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, dx = - \frac{x}{2}$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{2 \cdot \left(2 x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{2}$
    
    пусть $u = 2 x - 1$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{1}{4 u}\, du$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$
    
    Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
    
    Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
    
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$
    
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$
    
    Результат есть: $- \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$
    Метод #2
    
    Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{x}{1 - 2 x} = - \frac{x}{2 x - 1}$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{x}{2 x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{2 x - 1}\, dx$
    
    Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{x}{2 x - 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot \left(2 x - 1\right)}$
    
    Интегрируем почленно:
    
    Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{1}{2 \cdot \left(2 x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{2}$
    
    пусть $u = 2 x - 1$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{1}{4 u}\, du$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$
    
    Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
    
    Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
    
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$
    
    Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$
    
    Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$
    
    Таким образом, результат будет: $- \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$
  Таким образом, результат будет: $x + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$
Теперь упростить:

$- x + \frac{\left(2 x - 1\right) \log{\left(1 - 2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- x + \frac{\left(2 x - 1\right) \log{\left(1 - 2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- x + \frac{\left(2 x - 1\right) \log{\left(1 - 2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                          
 |                   1                 (1 - 2*x)*log(1 - 2*x)
 | log(1 - 2*x) dx = - + C - 1/2*2*x - ----------------------
 |                   2                           2           
/

$$-{{2\,x+\log \left(1-2\,x\right)\,\left(1-2\,x\right)-1}\over{2}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

     pi*I
-1 + ----
      2

$${{\log \left(-1\right)-2}\over{2}}$$

     pi*I
-1 + ----
      2

$$-1 + \frac{i \pi}{2}$$

Упростить

Численный ответ [src]

(-inf + 1.55151975569902j)

(-inf + 1.55151975569902j)

График

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл log(1-2*x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #1

Метод #2