Интеграл log(|x|) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1            
  /            
 |             
 |  log(|x|) dx
 |             
/              
0

$$\int\limits_{0}^{1} \log{\left(\left|{x}\right| \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Используем интегрирование по частям:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(\left|{x}\right| \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$ .

Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x \left|{x}\right|}$ .

Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
  
  $\int 1\, dx = x$
Теперь решаем под-интеграл.
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right|} = \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}$
2. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|} = \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|} + \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}$
3. Интегрируем почленно:
  1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.
    
    Но интеграл
    
    $\int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx$
  1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.
    
    Но интеграл
    
    $\int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx$
  Результат есть: $\int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx + \int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right|} = \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|} + \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.
    
    Но интеграл
    
    $\int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx$
  1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.
    
    Но интеграл
    
    $\int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx$
  Результат есть: $\int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx + \int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx$
Теперь упростить:

$x \log{\left(\left|{x}\right| \right)} - \int \frac{x \operatorname{re}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x^{2}}\right|}\, dx - \int \frac{x \operatorname{im}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x^{2}}\right|}\, dx$
Добавляем постоянную интегрирования:

$x \log{\left(\left|{x}\right| \right)} - \int \frac{x \operatorname{re}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x^{2}}\right|}\, dx - \int \frac{x \operatorname{im}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x^{2}}\right|}\, dx+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x \log{\left(\left|{x}\right| \right)} - \int \frac{x \operatorname{re}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x^{2}}\right|}\, dx - \int \frac{x \operatorname{im}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x^{2}}\right|}\, dx+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

                       /                               /                                       
                      |                               |                                        
                      | d                             | d                                      
  /                   | --(im(x))*im(x)*sign(x)       | --(re(x))*re(x)*sign(x)                
 |                    | dx                            | dx                                     
 | log(|x|) dx = C -  | ----------------------- dx -  | ----------------------- dx + x*log(|x|)
 |                    |           |x|                 |           |x|                          
/                     |                               |                                        
                     /                               /

$$\int \log{\left(\left|{x}\right| \right)}\, dx = x \log{\left(\left|{x}\right| \right)} + C - \int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx - \int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx$$

Ответ [src]

-1

$$-1$$

-1

$$-1$$

Упростить

Численный ответ [src]

-1.0

-1.0

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл log(|x|) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2