Интеграл log(log(x))/x*dx d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{x \log{\left(x \right)}}$ и подставим $du$:

      $\int u e^{u}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \log{\left(x \right)}$

   Метод #2

   1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

      $\int \log{\left(u \right)}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

         Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, du = u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \log{\left(x \right)}$

   Метод #3

   1. пусть $u = \frac{1}{x}$.

      Тогда пусть $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ и подставим $- du$:

      $\int \frac{\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\right)\, du = - \int \frac{\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\, du$

         1. пусть $u = \log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \frac{du}{u \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}$ и подставим $- du$:

            $\int u e^{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- u e^{u}\right)\, du = - \int u e^{u}\, du$

               1. Используем интегрирование по частям:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                  Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

                  1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Теперь решаем под-интеграл.

               2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $- u e^{u} + e^{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \log{\left(\frac{1}{u} \right)} \log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} + \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \log{\left(x \right)}$

2. Теперь упростить:

   $\left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$