Интеграл (log(2*x))^2 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\log{\left(2 x \right)}^{2} = \log{\left(x \right)}^{2} + 2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}^{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

         $\int u^{2} e^{u}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = u^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = 2 u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $2 e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}\, dx = 2 \log{\left(2 \right)} \int \log{\left(x \right)}\, dx$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

            Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dx = x$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Таким образом, результат будет: $2 \left(x \log{\left(x \right)} - x\right) \log{\left(2 \right)}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \log{\left(2 \right)}^{2}\, dx = x \log{\left(2 \right)}^{2}$

      Результат есть: $x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + x \log{\left(2 \right)}^{2} + 2 x + 2 \left(x \log{\left(x \right)} - x\right) \log{\left(2 \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\log{\left(2 x \right)}^{2} = \log{\left(x \right)}^{2} + 2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}^{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

         $\int u^{2} e^{u}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = u^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = 2 u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $2 e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}\, dx = 2 \log{\left(2 \right)} \int \log{\left(x \right)}\, dx$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

            Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dx = x$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Таким образом, результат будет: $2 \left(x \log{\left(x \right)} - x\right) \log{\left(2 \right)}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \log{\left(2 \right)}^{2}\, dx = x \log{\left(2 \right)}^{2}$

      Результат есть: $x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + x \log{\left(2 \right)}^{2} + 2 x + 2 \left(x \log{\left(x \right)} - x\right) \log{\left(2 \right)}$

2. Теперь упростить:

   $x \left(\left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(4 \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}^{2} + 2\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \left(\left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(4 \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}^{2} + 2\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x \left(\left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(4 \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}^{2} + 2\right)+ \mathrm{constant}$