Интеграл log(2*x+1) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x + 1$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \log{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u \log{\left(u \right)}}{2} - \frac{u}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x + \frac{\left(2 x + 1\right) \log{\left(2 x + 1 \right)}}{2} - \frac{1}{2}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(2 x + 1 \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{2 x + 1}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{2 x}{2 x + 1}\, dx = 2 \int \frac{x}{2 x + 1}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{2 x + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot \left(2 x + 1\right)}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{1}{2 \cdot \left(2 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{2}$

            1. пусть $u = 2 x + 1$.

               Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{4 u}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$

         Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $x - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $- x + \frac{\left(2 x + 1\right) \log{\left(2 x + 1 \right)}}{2} - \frac{1}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x + \frac{\left(2 x + 1\right) \log{\left(2 x + 1 \right)}}{2} - \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- x + \frac{\left(2 x + 1\right) \log{\left(2 x + 1 \right)}}{2} - \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}$