Интеграл cot(x)^3 d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cot^{3}{\left(x \right)} = \left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \cot{\left(x \right)}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \csc^{2}{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = - 2 \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1 - u}{4 u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1 - u}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1 - u}{u}\, du}{2}$

         1. пусть $u = - u$.

            Тогда пусть $du = - du$ и подставим $du$:

            $\int \frac{u + 1}{u}\, du$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{u + 1}{u} = 1 + \frac{1}{u}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Результат есть: $u + \log{\left(u \right)}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- u + \log{\left(- u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{2} + \frac{\log{\left(- u \right)}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\log{\left(- \csc^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \cot{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \csc^{2}{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = - 2 \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, du = - \frac{\int 1\, du}{2}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \cot{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cot{\left(x \right)}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

         2. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$

      Результат есть: $- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \cot{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \csc^{2}{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = - 2 \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, du = - \frac{\int 1\, du}{2}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \cot{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cot{\left(x \right)}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

         2. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$

      Результат есть: $- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\log{\left(- \csc^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\log{\left(- \csc^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$