Интеграл cot(x)^(5) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1           
  /           
 |            
 |     5      
 |  cot (x) dx
 |            
/             
0

$$\int\limits_{0}^{1} \cot^{5}{\left(x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\cot^{5}{\left(x \right)} = \left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \cot{\left(x \right)}$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = \csc^{2}{\left(x \right)}$ .
  
  Тогда пусть $du = - 2 \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
  
  $\int \frac{- u^{2} + 2 u - 1}{4 u}\, du$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{- u^{2} + 2 u - 1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{- u^{2} + 2 u - 1}{u}\, du}{2}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{- u^{2} + 2 u - 1}{u} = - u + 2 - \frac{1}{u}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 2\, du = 2 u$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{2}}{2} + 2 u - \log{\left(u \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{4} + u - \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $- \frac{\log{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\csc^{4}{\left(x \right)}}{4} + \csc^{2}{\left(x \right)}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \cot{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)} \csc^{4}{\left(x \right)} - 2 \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \csc^{4}{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = - 4 \cot{\left(x \right)} \csc^{4}{\left(x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{4}$ :
    
    $\int \frac{1}{16}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{4}\right)\, du = - \frac{\int 1\, du}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{4}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\csc^{4}{\left(x \right)}}{4}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 2 \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \csc^{2}{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - 2 \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, du = - \frac{\int 1\, du}{2}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\csc^{2}{\left(x \right)}$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
  2. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int \frac{1}{u}\, du$
    1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$
  Результат есть: $\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \frac{\csc^{4}{\left(x \right)}}{4} + \csc^{2}{\left(x \right)}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \cot{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)} \csc^{4}{\left(x \right)} - 2 \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \csc^{4}{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = - 4 \cot{\left(x \right)} \csc^{4}{\left(x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{4}$ :
    
    $\int \frac{1}{16}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{4}\right)\, du = - \frac{\int 1\, du}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{4}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\csc^{4}{\left(x \right)}}{4}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 2 \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \csc^{2}{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - 2 \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, du = - \frac{\int 1\, du}{2}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\csc^{2}{\left(x \right)}$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
  2. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int \frac{1}{u}\, du$
    1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$
  Результат есть: $\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \frac{\csc^{4}{\left(x \right)}}{4} + \csc^{2}{\left(x \right)}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- \frac{\log{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\csc^{4}{\left(x \right)}}{4} + \csc^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\log{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\csc^{4}{\left(x \right)}}{4} + \csc^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                 
 |                               /   2   \      4   
 |    5                2      log\csc (x)/   csc (x)
 | cot (x) dx = C + csc (x) - ------------ - -------
 |                                 2            4   
/

$$\log \sin x+{{4\,\sin ^2x-1}\over{4\,\sin ^4x}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

oo

$${\it \%a}$$

oo

$$\infty$$

Упростить

Численный ответ [src]

7.26749061658134e+75

7.26749061658134e+75

График

$Интеграл cot(x)^(5) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл cot(x)^(5) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3