Интеграл cot(x/2) d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cot{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

      Тогда пусть $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ и подставим $2 du$:

      $\int \frac{4}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $2 \log{\left(u \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $2 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$

   Метод #2

   1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

      $\int \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2 \cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du = 2 \int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du$

         1. пусть $u = \sin{\left(u \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}$

         Таким образом, результат будет: $2 \log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $2 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$

3. Теперь упростить:

   $2 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$2 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$