Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

$Найти интеграл от y = f({x}) = cos(x)^(7)*sin(x)^(2) dx (косинус от (x) в степени (7) умножить на синус от (x) в степени (2)) - с подробным решением [Есть ОТВЕТ!]$

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл (x+9)*sin(x)
Интеграл x^2*atan(x)
Интеграл (1-cos(x))/((x-sin(x))^2)
Интеграл tan(5*x)^(2)
Идентичные выражения
cos(x)^(семь)*sin(x)^(два)
косинус от (x) в степени (7) умножить на синус от (x) в степени (2)
косинус от (x) в степени (семь) умножить на синус от (x) в степени (два)
cos(x)(7)*sin(x)(2)
cosx7*sinx2
cos(x)^(7)sin(x)^(2)
cos(x)(7)sin(x)(2)
cosx7sinx2
cosx^7sinx^2
cos(x)^(7)*sin(x)^(2)dx
Похожие выражения
(cos(x))^7*(sin(x))^2
cosx^(7)*sinx^(2)

Решение интегралов/ cos(x)^(7)*sin(x)^(2)

Интеграл cos(x)^(7)*sin(x)^(2) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                   
  /                   
 |                    
 |     7       2      
 |  cos (x)*sin (x) dx
 |                    
/                     
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{7}{\left(x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{7}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
  
  Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \left(- u^{8} + 3 u^{6} - 3 u^{4} + u^{2}\right)\, du$
  1. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{8}\right)\, du = - \int u^{8}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{9}}{9}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 3 u^{6}\, du = 3 \int u^{6}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{3 u^{7}}{7}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- 3 u^{4}\right)\, du = - 3 \int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{3 u^{5}}{5}$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
    Результат есть: $- \frac{u^{9}}{9} + \frac{3 u^{7}}{7} - \frac{3 u^{5}}{5} + \frac{u^{3}}{3}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $- \frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9} + \frac{3 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{8}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 3 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{6}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{3 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
  1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int u^{2}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  Результат есть: $- \frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9} + \frac{3 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{8}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 3 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{6}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{3 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
  1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int u^{2}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  Результат есть: $- \frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9} + \frac{3 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
Теперь упростить:

$\frac{\left(- 35 \sin^{6}{\left(x \right)} + 135 \sin^{4}{\left(x \right)} - 189 \sin^{2}{\left(x \right)} + 105\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{315}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\left(- 35 \sin^{6}{\left(x \right)} + 135 \sin^{4}{\left(x \right)} - 189 \sin^{2}{\left(x \right)} + 105\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{315}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(- 35 \sin^{6}{\left(x \right)} + 135 \sin^{4}{\left(x \right)} - 189 \sin^{2}{\left(x \right)} + 105\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{315}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                                  
 |                               5         9         3           7   
 |    7       2             3*sin (x)   sin (x)   sin (x)   3*sin (x)
 | cos (x)*sin (x) dx = C - --------- - ------- + ------- + ---------
 |                              5          9         3          7    
/

$$-{{35\,\sin ^9x-135\,\sin ^7x+189\,\sin ^5x-105\,\sin ^3x}\over{315 }}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

       5         9         3           7   
  3*sin (1)   sin (1)   sin (1)   3*sin (1)
- --------- - ------- + ------- + ---------
      5          9         3          7

$$-{{35\,\sin ^91-135\,\sin ^71+189\,\sin ^51-105\,\sin ^31}\over{315 }}$$

       5         9         3           7   
  3*sin (1)   sin (1)   sin (1)   3*sin (1)
- --------- - ------- + ------- + ---------
      5          9         3          7

$$- \frac{3 \sin^{5}{\left(1 \right)}}{5} - \frac{\sin^{9}{\left(1 \right)}}{9} + \frac{3 \sin^{7}{\left(1 \right)}}{7} + \frac{\sin^{3}{\left(1 \right)}}{3}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.0499992403985349

0.0499992403985349

График

$Интеграл cos(x)^(7)*sin(x)^(2) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл cos(x)^(7)*sin(x)^(2) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3