Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

$Найти интеграл от y = f({x}) = cos(x)^(5)*sin(x)^(4) dx (косинус от (x) в степени (5) умножить на синус от (x) в степени (4)) - с подробным решением [Есть ОТВЕТ!]$

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл x*e^-x
Интеграл (tan(x))^3
Интеграл dx/(3-x^2)
Интеграл 1/(cos(x)^(6))
Идентичные выражения
cos(x)^(пять)*sin(x)^(четыре)
косинус от (x) в степени (5) умножить на синус от (x) в степени (4)
косинус от (x) в степени (пять) умножить на синус от (x) в степени (четыре)
cos(x)(5)*sin(x)(4)
cosx5*sinx4
cos(x)^(5)sin(x)^(4)
cos(x)(5)sin(x)(4)
cosx5sinx4
cosx^5sinx^4
cos(x)^(5)*sin(x)^(4)dx
Похожие выражения
cosx^(5)*sinx^(4)

Решение интегралов/ cos(x)^(5)*sin(x)^(4)

Интеграл cos(x)^(5)*sin(x)^(4) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                   
  /                   
 |                    
 |     5       4      
 |  cos (x)*sin (x) dx
 |                    
/                     
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
  
  Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \left(u^{8} - 2 u^{6} + u^{4}\right)\, du$
  1. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- 2 u^{6}\right)\, du = - 2 \int u^{6}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{2 u^{7}}{7}$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
    Результат есть: $\frac{u^{9}}{9} - \frac{2 u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{2 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int u^{8}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 2 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{6}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
  1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int u^{4}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
  Результат есть: $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{2 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int u^{8}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 2 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{6}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
  1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int u^{4}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
  Результат есть: $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{2 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
Теперь упростить:

$\frac{\left(35 \sin^{4}{\left(x \right)} - 90 \sin^{2}{\left(x \right)} + 63\right) \sin^{5}{\left(x \right)}}{315}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\left(35 \sin^{4}{\left(x \right)} - 90 \sin^{2}{\left(x \right)} + 63\right) \sin^{5}{\left(x \right)}}{315}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(35 \sin^{4}{\left(x \right)} - 90 \sin^{2}{\left(x \right)} + 63\right) \sin^{5}{\left(x \right)}}{315}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                      
 |                               7         5         9   
 |    5       4             2*sin (x)   sin (x)   sin (x)
 | cos (x)*sin (x) dx = C - --------- + ------- + -------
 |                              7          5         9   
/

$${{35\,\sin ^9x-90\,\sin ^7x+63\,\sin ^5x}\over{315}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

       7         5         9   
  2*sin (1)   sin (1)   sin (1)
- --------- + ------- + -------
      7          5         9

$${{35\,\sin ^91-90\,\sin ^71+63\,\sin ^51}\over{315}}$$

       7         5         9   
  2*sin (1)   sin (1)   sin (1)
- --------- + ------- + -------
      7          5         9

$$- \frac{2 \sin^{7}{\left(1 \right)}}{7} + \frac{\sin^{9}{\left(1 \right)}}{9} + \frac{\sin^{5}{\left(1 \right)}}{5}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.0225291073790017

0.0225291073790017

График

$Интеграл cos(x)^(5)*sin(x)^(4) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл cos(x)^(5)*sin(x)^(4) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3