Интеграл cos(x)*7^(sin(x)) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 7^{\sin{\left(x \right)}}$.

      Тогда пусть $du = 7^{\sin{\left(x \right)}} \log{\left(7 \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{\log{\left(7 \right)}}$:

      $\int \frac{1}{\log{\left(7 \right)}^{2}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{\log{\left(7 \right)}}\, du = \frac{\int 1\, du}{\log{\left(7 \right)}}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u}{\log{\left(7 \right)}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{7^{\sin{\left(x \right)}}}{\log{\left(7 \right)}}$

   Метод #2

   1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

      $\int 7^{u}\, du$

      1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

         $\int 7^{u}\, du = \frac{7^{u}}{\log{\left(7 \right)}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{7^{\sin{\left(x \right)}}}{\log{\left(7 \right)}}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{7^{\sin{\left(x \right)}}}{\log{\left(7 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{7^{\sin{\left(x \right)}}}{\log{\left(7 \right)}}+ \mathrm{constant}$