Интеграл x^3*(1+5*x) d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $x^{3} \cdot \left(5 x + 1\right) = 5 x^{4} + x^{3}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 5 x^{4}\, dx = 5 \int x^{4}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Таким образом, результат будет: $x^{5}$

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

   Результат есть: $x^{5} + \frac{x^{4}}{4}$

3. Теперь упростить:

   $x^{4} \left(x + \frac{1}{4}\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x^{4} \left(x + \frac{1}{4}\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x^{4} \left(x + \frac{1}{4}\right)+ \mathrm{constant}$