Интеграл cos(x)-sin(x) d{x}

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Таким образом, результат будет: $\cos{\left(x \right)}$

   1. Интеграл от косинуса есть синус:

      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

   Результат есть: $\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

2. Теперь упростить:

   $\sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}+ \mathrm{constant}$