Интеграл cos(3*x)^(5) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1             
  /             
 |              
 |     5        
 |  cos (3*x) dx
 |              
/               
0

$$\int\limits_{0}^{1} \cos^{5}{\left(3 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\cos^{5}{\left(3 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(3 x \right)}\right)^{2} \cos{\left(3 x \right)}$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = 3 x$ .
  
  Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \left(\frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{3} - \frac{2 \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\right)\, du$
  1. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      пусть $u = \sin{\left(u \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{15}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{2 \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{3}\right)\, du = - \frac{2 \int \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      пусть $u = \sin{\left(u \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(u \right)}}{9}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
    Результат есть: $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{15} - \frac{2 \sin^{3}{\left(u \right)}}{9} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{\sin^{5}{\left(3 x \right)}}{15} - \frac{2 \sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(1 - \sin^{2}{\left(3 x \right)}\right)^{2} \cos{\left(3 x \right)} = \sin^{4}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \sin{\left(3 x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
    
    $\int \frac{u^{4}}{9}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{u^{4}}{3}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{3}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u^{5}}{15}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin^{5}{\left(3 x \right)}}{15}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \sin{\left(3 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{u^{2}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{u^{2}}{3}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{3}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{9}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9}$
  1. пусть $u = 3 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
  Результат есть: $\frac{\sin^{5}{\left(3 x \right)}}{15} - \frac{2 \sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(1 - \sin^{2}{\left(3 x \right)}\right)^{2} \cos{\left(3 x \right)} = \sin^{4}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \sin{\left(3 x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
    
    $\int \frac{u^{4}}{9}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{u^{4}}{3}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{3}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u^{5}}{15}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin^{5}{\left(3 x \right)}}{15}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \sin{\left(3 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{u^{2}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{u^{2}}{3}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{3}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{9}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9}$
  1. пусть $u = 3 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
  Результат есть: $\frac{\sin^{5}{\left(3 x \right)}}{15} - \frac{2 \sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
Теперь упростить:

$\frac{\left(3 \sin^{4}{\left(3 x \right)} - 10 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 15\right) \sin{\left(3 x \right)}}{45}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\left(3 \sin^{4}{\left(3 x \right)} - 10 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 15\right) \sin{\left(3 x \right)}}{45}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(3 \sin^{4}{\left(3 x \right)} - 10 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 15\right) \sin{\left(3 x \right)}}{45}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                     
 |                         3                      5     
 |    5               2*sin (3*x)   sin(3*x)   sin (3*x)
 | cos (3*x) dx = C - ----------- + -------- + ---------
 |                         9           3           15   
/

$${{{{\sin ^5\left(3\,x\right)}\over{5}}-{{2\,\sin ^3\left(3\,x \right)}\over{3}}+\sin \left(3\,x\right)}\over{3}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

       3                  5   
  2*sin (3)   sin(3)   sin (3)
- --------- + ------ + -------
      9         3         15

$${{3\,\sin ^53-10\,\sin ^33+15\,\sin 3}\over{45}}$$

       3                  5   
  2*sin (3)   sin(3)   sin (3)
- --------- + ------ + -------
      9         3         15

$$- \frac{2 \sin^{3}{\left(3 \right)}}{9} + \frac{\sin^{5}{\left(3 \right)}}{15} + \frac{\sin{\left(3 \right)}}{3}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.0464192039729102

0.0464192039729102

График

$Интеграл cos(3*x)^(5) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл cos(3*x)^(5) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3