Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

$Найти интеграл от y = f({x}) = cos(2)^(7)*x*sin(2*x) dx (косинус от (2) в степени (7) умножить на x умножить на синус от (2 умножить на x)) - с подробным решением [Есть ОТВЕТ!]$

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл log(x)/sqrt(x)
Интеграл (e^(3*x)+1)/(e^x+1)
Интеграл cos(2)^(7)*x*sin(2*x)
Интеграл x*exp(-(x^2))
Идентичные выражения
cos(два)^(семь)*x*sin(два *x)
косинус от (2) в степени (7) умножить на x умножить на синус от (2 умножить на x)
косинус от (два) в степени (семь) умножить на x умножить на синус от (два умножить на x)
cos(2)(7)*x*sin(2*x)
cos27*x*sin2*x
cos(2)^(7)xsin(2x)
cos(2)(7)xsin(2x)
cos27xsin2x
cos2^7xsin2x
cos(2)^(7)*x*sin(2*x)dx

Решение интегралов/ cos(2)^(7)*x*sin(2*x)

Интеграл cos(2)^(7)xsin(2*x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                      
  /                      
 |                       
 |     7                 
 |  cos (2)*x*sin(2*x) dx
 |                       
/                        
0

$$\int\limits_{0}^{1} x \sin{\left(2 x \right)} \cos^{7}{\left(2 \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

$\int x \sin{\left(2 x \right)} \cos^{7}{\left(2 \right)}\, dx = \cos^{7}{\left(2 \right)} \int x \sin{\left(2 x \right)}\, dx$
1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
  Метод #1
  1. Используем интегрирование по частям:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ .
    
    Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
    
    Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
      
      Метод #1
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Метод #2
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \cos^{2}{\left(x \right)}$
    Теперь решаем под-интеграл.
  2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
    1. пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
  Метод #2
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 2 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{2}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{x}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}$
    Таким образом, результат будет: $- x \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
Таким образом, результат будет: $\left(- \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \cos^{7}{\left(2 \right)}$
Теперь упростить:

$\frac{\left(- 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) \cos^{7}{\left(2 \right)}}{4}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\left(- 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) \cos^{7}{\left(2 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(- 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) \cos^{7}{\left(2 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                           
 |                                                            
 |    7                           7    /sin(2*x)   x*cos(2*x)\
 | cos (2)*x*sin(2*x) dx = C + cos (2)*|-------- - ----------|
 |                                     \   4           2     /
/

$${{\cos ^72\,\left(\sin \left(2\,x\right)-2\,x\,\cos \left(2\,x \right)\right)}\over{4}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

   7    /  cos(2)   sin(2)\
cos (2)*|- ------ + ------|
        \    2        4   /

$${{\cos ^72\,\left(\sin 2-2\,\cos 2\right)}\over{4}}$$

   7    /  cos(2)   sin(2)\
cos (2)*|- ------ + ------|
        \    2        4   /

$$\left(- \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 \right)}}{4}\right) \cos^{7}{\left(2 \right)}$$

Упростить

Численный ответ [src]

-0.000941049326792067

-0.000941049326792067

График

$Интеграл cos(2)^(7)*x*sin(2*x) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл cos(2)^(7)xsin(2*x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #2