Интеграл e^x*log(x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

      $\int u e^{u} e^{e^{u}}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u} e^{e^{u}}$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

         1. пусть $u = e^{u}$.

            Тогда пусть $du = e^{u} du$ и подставим $du$:

            $\int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $e^{e^{u}}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. пусть $u = e^{u}$.

         Тогда пусть $du = e^{u} du$ и подставим $du$:

         $\int \frac{e^{u}}{u}\, du$

         EiRule(a=1, b=0, context=exp(_u)/_u, symbol=_u)

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\operatorname{Ei}{\left(e^{u} \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $e^{x} \log{\left(x \right)} - \operatorname{Ei}{\left(x \right)}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Теперь решаем под-интеграл.

      EiRule(a=1, b=0, context=exp(x)/x, symbol=x)

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $e^{x} \log{\left(x \right)} - \operatorname{Ei}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$e^{x} \log{\left(x \right)} - \operatorname{Ei}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$