Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

$Найти интеграл от y = f({x}) = (e^x-1)⁴*e^x*dx ((e в степени x минус 1) в степени 4 умножить на e в степени x умножить на dx) - с подробным решением [Есть ОТВЕТ!]$

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл x/sin(x)^(2)
Интеграл (x^2-2*x+5)*e^-x
Интеграл dx/1+cbrt(x+1)
Интеграл (3*x-1)*sin(x)
Идентичные выражения
(e^x- один)^ четыре *e^x*dx
(e в степени x минус 1) в степени 4 умножить на e в степени x умножить на dx
(e в степени x минус один) в степени четыре умножить на e в степени x умножить на dx
(ex-1)4*ex*dx
ex-14*ex*dx
(e^x-1)⁴*e^x*dx
(e^x-1)^4e^xdx
(ex-1)4exdx
ex-14exdx
e^x-1^4e^xdx
Похожие выражения
(e^x+1)^4*e^x*dx
Что Вы имели ввиду?
(e^x - 1*1)^4*e^x*dx
(e^x - 1*1)^((4*e)^x)*dx
(e^x - 1*1)^((4*e)^x)*dx

Решение интегралов/ (e^x-1)^4*e^x*dx

Вы ввели:

(e^x-1)^4*e^x*dx

Что Вы имели ввиду?

(e^x - 1*1)^4*e^x*dx

(e^x - 1*1)^((4*e)^x)*dx

(e^x - 1*1)^((4*e)^x)*dx

Интеграл (e^x-1)^4e^xdx d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                  
  /                  
 |                   
 |          4        
 |  / x    \   x     
 |  \e  - 1/ *e *1 dx
 |                   
/                    
0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(e^{x} - 1\right)^{4} e^{x} 1\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = e^{x} - 1$ .
  
  Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int u^{4}\, du$
  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{5}}{5}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(e^{x} - 1\right)^{4} e^{x} 1 = e^{5 x} - 4 e^{4 x} + 6 e^{3 x} - 4 e^{2 x} + e^{x}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
    Метод #1
    
    пусть $u = 5 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$ :
    
    $\int \frac{e^{u}}{25}\, du$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{e^{u}}{5}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{5}$
    
    Интеграл от экспоненты есть он же сам.
    
    $\int e^{u}\, du = e^{u}$
    
    Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{5}$
    
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{e^{5 x}}{5}$
    Метод #2
    
    пусть $u = e^{5 x}$ .
    
    Тогда пусть $du = 5 e^{5 x} dx$ и подставим $\frac{du}{5}$ :
    
    $\int \frac{1}{25}\, du$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{1}{5}\, du = \frac{\int 1\, du}{5}$
    
    Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int 1\, du = u$
    
    Таким образом, результат будет: $\frac{u}{5}$
    
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{e^{5 x}}{5}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 4 e^{4 x}\right)\, dx = - 4 \int e^{4 x}\, dx$
    1. пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{4}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{4 x}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $- e^{4 x}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 6 e^{3 x}\, dx = 6 \int e^{3 x}\, dx$
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{3 x}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $2 e^{3 x}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 4 e^{2 x}\right)\, dx = - 4 \int e^{2 x}\, dx$
    1. пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{2 x}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $- 2 e^{2 x}$
  1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.
    
    $\int e^{x}\, dx = e^{x}$
  Результат есть: $\frac{e^{5 x}}{5} - e^{4 x} + 2 e^{3 x} - 2 e^{2 x} + e^{x}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(e^{x} - 1\right)^{4} e^{x} 1 = e^{5 x} - 4 e^{4 x} + 6 e^{3 x} - 4 e^{2 x} + e^{x}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = 5 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$ :
    
    $\int \frac{e^{u}}{25}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{5}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{5}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{5}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{e^{5 x}}{5}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 4 e^{4 x}\right)\, dx = - 4 \int e^{4 x}\, dx$
    1. пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{4}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{4 x}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $- e^{4 x}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 6 e^{3 x}\, dx = 6 \int e^{3 x}\, dx$
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{3 x}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $2 e^{3 x}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 4 e^{2 x}\right)\, dx = - 4 \int e^{2 x}\, dx$
    1. пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{2 x}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $- 2 e^{2 x}$
  1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.
    
    $\int e^{x}\, dx = e^{x}$
  Результат есть: $\frac{e^{5 x}}{5} - e^{4 x} + 2 e^{3 x} - 2 e^{2 x} + e^{x}$
Теперь упростить:

$\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{5}}{5}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{5}}{5}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{5}}{5}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                 
 |                                 5
 |         4               / x    \ 
 | / x    \   x            \e  - 1/ 
 | \e  - 1/ *e *1 dx = C + ---------
 |                             5    
/

$${{\left(e^{x}-1\right)^5}\over{5}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

                              5
  1        4      2      3   e 
- - + e - e  - 2*e  + 2*e  + --
  5                          5

$${{e^5-5\,e^4+10\,e^3-10\,e^2+5\,e-1}\over{5}}$$

                              5
  1        4      2      3   e 
- - + e - e  - 2*e  + 2*e  + --
  5                          5

$$- e^{4} - 2 e^{2} - \frac{1}{5} + e + \frac{e^{5}}{5} + 2 e^{3}$$

Упростить

Численный ответ [src]

2.99572526434416

2.99572526434416

График

$Интеграл (e^x-1)^4*e^x*dx d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Что Вы имели ввиду?

Вы ввели:

Что Вы имели ввиду?

Интеграл (e^x-1)^4e^xdx d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #1

Метод #2

Метод #3