Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

$Найти интеграл от y = f({x}) = (e^x-e^-x)² dx ((e в степени x минус e в степени минус x) в квадрате) - с подробным решением [Есть ОТВЕТ!]$

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл x*sqrt(x+4)
Интеграл x/(x^4+4)
Интеграл (e^x-e^-x)^2
Интеграл x^2-10*x
Идентичные выражения
(e^x-e^-x)^ два
(e в степени x минус e в степени минус x) в квадрате
(e в степени x минус e в степени минус x) в степени два
(ex-e-x)2
ex-e-x2
(e^x-e^-x)²
(e в степени x-e в степени -x) в степени 2
e^x-e^-x^2
(e^x-e^-x)^2dx
Похожие выражения
(e^x-e^(-x))^2
(e^x-e^+x)^2
(e^x+e^-x)^2

Решение интегралов/ (e^x-e^-x)^2

Интеграл (e^x-e^-x)^2 d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1               
  /               
 |                
 |            2   
 |  / x    -x\    
 |  \e  - e  /  dx
 |                
/                 
0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(e^{x} - e^{- x}\right)^{2}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = e^{x}$ .
  
  Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{3}}\, du$
  1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
    Метод #1
    
    пусть $u = u^{2}$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 u du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{4 u^{2}}\, du$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{2 u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{2}}\, du}{2}$
    
    Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{2}} = 1 - \frac{2}{u} + \frac{1}{u^{2}}$
    
    Интегрируем почленно:
    
    Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int 1\, du = u$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{2}{u}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u}\, du$
    
    Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
    
    Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left(u \right)}$
    
    Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$
    
    Результат есть: $u - 2 \log{\left(u \right)} - \frac{1}{u}$
    
    Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2} - \log{\left(u \right)} - \frac{1}{2 u}$
    
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{u^{2}}{2} - \log{\left(u^{2} \right)} - \frac{1}{2 u^{2}}$
    Метод #2
    
    Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{3}} = u - \frac{2}{u} + \frac{1}{u^{3}}$
    
    Интегрируем почленно:
    
    Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{2}{u}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u}\, du$
    
    Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
    
    Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left(u \right)}$
    
    Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$
    
    Результат есть: $\frac{u^{2}}{2} - 2 \log{\left(u \right)} - \frac{1}{2 u^{2}}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{e^{2 x}}{2} - \log{\left(e^{2 x} \right)} - \frac{e^{- 2 x}}{2}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(e^{x} - e^{- x}\right)^{2} = \left(e^{4 x} - 2 e^{2 x} + 1\right) e^{- 2 x}$
2. пусть $u = e^{2 x}$ .
  
  Тогда пусть $du = 2 e^{2 x} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
  
  $\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{4 u^{2}}\, du$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{2 u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{2}}\, du}{2}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{2}} = 1 - \frac{2}{u} + \frac{1}{u^{2}}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{2}{u}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left(u \right)}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$
      
      Результат есть: $u - 2 \log{\left(u \right)} - \frac{1}{u}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2} - \log{\left(u \right)} - \frac{1}{2 u}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{e^{2 x}}{2} - \log{\left(e^{2 x} \right)} - \frac{e^{- 2 x}}{2}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(e^{x} - e^{- x}\right)^{2} = e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
    Метод #1
    
    пусть $u = 2 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$
    
    Интеграл от экспоненты есть он же сам.
    
    $\int e^{u}\, du = e^{u}$
    
    Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$
    
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{e^{2 x}}{2}$
    Метод #2
    
    пусть $u = e^{2 x}$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 e^{2 x} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{1}{4}\, du$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{\int 1\, du}{2}$
    
    Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int 1\, du = u$
    
    Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2}$
    
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{e^{2 x}}{2}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x$
  1. пусть $u = - 2 x$ .
    
    Тогда пусть $du = - 2 dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du = - \frac{\int e^{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{2}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$
  Результат есть: $- 2 x + \frac{e^{2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2}$
Теперь упростить:

$- \log{\left(\sinh{\left(2 x \right)} + \cosh{\left(2 x \right)} \right)} + \sinh{\left(2 x \right)}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- \log{\left(\sinh{\left(2 x \right)} + \cosh{\left(2 x \right)} \right)} + \sinh{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \log{\left(\sinh{\left(2 x \right)} + \cosh{\left(2 x \right)} \right)} + \sinh{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                             
 |                                              
 |           2           2*x                -2*x
 | / x    -x\           e         / 2*x\   e    
 | \e  - e  /  dx = C + ---- - log\e   / - -----
 |                       2                   2  
/

$${{e^{2\,x}}\over{2}}-{{e^ {- 2\,x }}\over{2}}-2\,x$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

      2    -2
     e    e  
-2 + -- - ---
     2     2

$${{e^ {- 2 }\,\left(e^4-4\,e^2-1\right)}\over{2}}$$

      2    -2
     e    e  
-2 + -- - ---
     2     2

$$-2 - \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{e^{2}}{2}$$

Упростить

Численный ответ [src]

1.62686040784702

1.62686040784702

График

$Интеграл (e^x-e^-x)^2 d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (e^x-e^-x)^2 d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #2

Метод #3

Метод #1

Метод #2