Интеграл e^((1/2)*x-1) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{\frac{x}{2} - 1} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{e}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{e}\, dx = \frac{\int e^{\frac{x}{2}}\, dx}{e}$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

            $\int 4 e^{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $2 e^{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $2 e^{\frac{x}{2}}$

         Метод #2

         1. пусть $u = e^{\frac{x}{2}}$.

            Тогда пусть $du = \frac{e^{\frac{x}{2}} dx}{2}$ и подставим $2 du$:

            $\int 4\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int 2\, du = 2 \int 1\, du$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Таким образом, результат будет: $2 u$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $2 e^{\frac{x}{2}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{2 e^{\frac{x}{2}}}{e}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{\frac{x}{2} - 1} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{e}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{e}\, dx = \frac{\int e^{\frac{x}{2}}\, dx}{e}$

      1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

         $\int 4 e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $2 e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $2 e^{\frac{x}{2}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{2 e^{\frac{x}{2}}}{e}$

2. Теперь упростить:

   $2 e^{\frac{x}{2} - 1}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 e^{\frac{x}{2} - 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$2 e^{\frac{x}{2} - 1}+ \mathrm{constant}$