Интеграл e^(2x)sin(x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1               
  /               
 |                
 |   2*x          
 |  e   *sin(x) dx
 |                
/                 
0

$$\int\limits_{0}^{1} e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.
1. Для подинтегрального выражения $e^{2 x} \sin{\left(x \right)}$ :
  
  пусть $u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{2 x}$ .
  
  Затем $\int e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \int \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}\, dx$ .
2. Для подинтегрального выражения $\frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}$ :
  
  пусть $u{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{2 x}$ .
  
  Затем $\int e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{4} + \int \left(- \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{4}\right)\, dx$ .
3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:
  
  $\frac{5 \int e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx}{4} = \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{4}$
  
  Поэтому,
  
  $\int e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{2 e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{5}$
Теперь упростить:

$\frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 x}}{5}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 x}}{5}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 x}}{5}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                
 |                              2*x      2*x       
 |  2*x                 cos(x)*e      2*e   *sin(x)
 | e   *sin(x) dx = C - ----------- + -------------
 |                           5              5      
/

$${{e^{2\,x}\,\left(2\,\sin x-\cos x\right)}\over{5}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

            2      2       
1   cos(1)*e    2*e *sin(1)
- - --------- + -----------
5       5            5

$${{2\,e^2\,\sin 1-e^2\,\cos 1}\over{5}}+{{1}\over{5}}$$

            2      2       
1   cos(1)*e    2*e *sin(1)
- - --------- + -----------
5       5            5

$$- \frac{e^{2} \cos{\left(1 \right)}}{5} + \frac{1}{5} + \frac{2 e^{2} \sin{\left(1 \right)}}{5}$$

Упростить

Численный ответ [src]

1.88860571525893

1.88860571525893

График

$Интеграл e^(2*x)*sin(x) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл e^(2x)sin(x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение