Интеграл exp(-x)*sin(x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

         1. Для подинтегрального выражения $e^{u} \sin{\left(u \right)}$:

            пусть $u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Затем $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$.

         2. Для подинтегрального выражения $e^{u} \cos{\left(u \right)}$:

            пусть $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Затем $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$.

         3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

            $2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}$

            Поэтому,

            $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{e^{- x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- x} \cos{\left(x \right)}}{2}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

      1. Для подинтегрального выражения $e^{- x} \sin{\left(x \right)}$:

         пусть $u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x}$.

         Затем $\int e^{- x} \sin{\left(x \right)}\, dx = - \int \left(- e^{- x} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx - e^{- x} \sin{\left(x \right)}$.

      2. Для подинтегрального выражения $- e^{- x} \cos{\left(x \right)}$:

         пусть $u{\left(x \right)} = - \cos{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x}$.

         Затем $\int e^{- x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \int \left(- e^{- x} \sin{\left(x \right)}\right)\, dx - e^{- x} \sin{\left(x \right)} - e^{- x} \cos{\left(x \right)}$.

      3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

         $2 \int e^{- x} \sin{\left(x \right)}\, dx = - e^{- x} \sin{\left(x \right)} - e^{- x} \cos{\left(x \right)}$

         Поэтому,

         $\int e^{- x} \sin{\left(x \right)}\, dx = - \frac{e^{- x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- x} \cos{\left(x \right)}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\sqrt{2} e^{- x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\sqrt{2} e^{- x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\sqrt{2} e^{- x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$