Интеграл exp(-x)*cos(x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

            1. Для подинтегрального выражения $e^{u} \cos{\left(u \right)}$:

               пусть $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Затем $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \cos{\left(u \right)} - \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$.

            2. Для подинтегрального выражения $- e^{u} \sin{\left(u \right)}$:

               пусть $u{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Затем $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du$.

            3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

               $2 \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)}$

               Поэтому,

               $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{e^{- x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- x} \cos{\left(x \right)}}{2}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

      1. Для подинтегрального выражения $e^{- x} \cos{\left(x \right)}$:

         пусть $u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x}$.

         Затем $\int e^{- x} \cos{\left(x \right)}\, dx = - \int e^{- x} \sin{\left(x \right)}\, dx - e^{- x} \cos{\left(x \right)}$.

      2. Для подинтегрального выражения $e^{- x} \sin{\left(x \right)}$:

         пусть $u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x}$.

         Затем $\int e^{- x} \cos{\left(x \right)}\, dx = \int \left(- e^{- x} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx + e^{- x} \sin{\left(x \right)} - e^{- x} \cos{\left(x \right)}$.

      3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

         $2 \int e^{- x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{- x} \sin{\left(x \right)} - e^{- x} \cos{\left(x \right)}$

         Поэтому,

         $\int e^{- x} \cos{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{- x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- x} \cos{\left(x \right)}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\sqrt{2} e^{- x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\sqrt{2} e^{- x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\sqrt{2} e^{- x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$