Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл dx/sin(2*x)
Интеграл sin(3*x)
Интеграл (x-2)^4
Интеграл x^3
Идентичные выражения
dx/sin(два *x)
dx делить на синус от (2 умножить на x)
dx делить на синус от (два умножить на x)
dx/sin(2x)
dx/sin2x
dx разделить на sin(2*x)
Похожие выражения
dx/(sin(2*x))

Интеграл dx/sin(2*x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1              
  /              
 |               
 |       1       
 |  1*-------- dx
 |    sin(2*x)   
 |               
/                
0

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(2 x \right)}}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Дан интеграл:

  /               
 |                
 |        1       
 | 1*1*-------- dx
 |     sin(2*x)   
 |                
/

Подинтегральная функция

     1    
1*--------
  sin(2*x)

Домножим числитель и знаменатель на

sin(2*x)

получим

     1       1*sin(2*x)
1*-------- = ----------
  sin(2*x)      2      
             sin (2*x)

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

   2               2     
sin (2*x) = 1 - cos (2*x)

преобразуем знаменатель

1*sin(2*x)     1*sin(2*x) 
---------- = -------------
   2                2     
sin (2*x)    1 - cos (2*x)

сделаем замену

u = cos(2*x)

тогда интеграл

  /                  
 |                   
 |   1*sin(2*x)      
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - cos (2*x)     
 |                   
/

  /                  
 |                   
 |   1*sin(2*x)      
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - cos (2*x)     
 |                   
/

Т.к. du = -2*dx*sin(2*x)

  /             
 |              
 |    -1        
 | ---------- du
 |   /     2\   
 | 2*\1 - u /   
 |              
/

Перепишем подинтегральную функцию

   -1        1*-1/2 /  1       1  \
---------- = ------*|----- + -----|
  /     2\     2    \1 - u   1 + u/
2*\1 - u /

тогда

                       /             /          
                      |             |           
                      |   1         |   1       
                      | ----- du    | ----- du  
  /                   | 1 + u       | 1 - u     
 |                    |             |           
 |    -1             /             /           =
 | ---------- du = - ----------- - -----------  
 |   /     2\             4             4       
 | 2*\1 - u /                                   
 |                                              
/

= -log(1 + u)/4 + log(-1 + u)/4

делаем обратную замену

u = cos(2*x)

Ответ

  /                                                               
 |                                                                
 |        1            log(1 + cos(2*x))   log(-1 + cos(2*x))     
 | 1*1*-------- dx = - ----------------- + ------------------ + C0
 |     sin(2*x)                4                   4              
 |                                                                
/

где C0 - это постоянная, не зависящая от x

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                          
 |                                                           
 |      1              log(1 + cos(2*x))   log(-1 + cos(2*x))
 | 1*-------- dx = C - ----------------- + ------------------
 |   sin(2*x)                  4                   4         
 |                                                           
/

$${{{{\log \left(\cos \left(2\,x\right)-1\right)}\over{2}}-{{\log \left(\cos \left(2\,x\right)+1\right)}\over{2}}}\over{2}}$$

Упростить

Ответ [src]

     pi*I
oo + ----
      4

$${\it \%a}$$

     pi*I
oo + ----
      4

$$\infty + \frac{i \pi}{4}$$

Упростить

Численный ответ [src]

22.2667344290549

22.2667344290549

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл dx/sin(2*x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение