Интеграл dx/5^x d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{1}{5^{x}}$.

      Тогда пусть $du = - 5^{- x} \log{\left(5 \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{\log{\left(5 \right)}}$:

      $\int \frac{1}{\log{\left(5 \right)}^{2}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{\log{\left(5 \right)}}\right)\, du = - \frac{\int 1\, du}{\log{\left(5 \right)}}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{\log{\left(5 \right)}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{5^{- x}}{\log{\left(5 \right)}}$

   Метод #2

   1. пусть $u = 5^{x}$.

      Тогда пусть $du = 5^{x} \log{\left(5 \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{\log{\left(5 \right)}}$:

      $\int \frac{1}{u^{2} \log{\left(5 \right)}^{2}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u^{2} \log{\left(5 \right)}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{\log{\left(5 \right)}}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{u \log{\left(5 \right)}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{5^{- x}}{\log{\left(5 \right)}}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{5^{- x}}{\log{\left(5 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{5^{- x}}{\log{\left(5 \right)}}+ \mathrm{constant}$